Сложение и вычитание алгебраических дробей

Сложение дробей

С простейшими задачками на дроби сталкиваются школьники еще на уроках в начальных классах. Подобные задания состоят в необходимости выделить из чего-то целого определенную часть, либо собрать воедино разные фрагменты. К примеру, на тарелке расположен торт для четверых гостей. Каждый из приглашенных хотел бы отведать лакомство. Поэтому десерт необходимо поделить между всеми гостями, то есть на четыре части. В результате каждый человек получит по ¼ торта.  Таким образом, из целого торта сделали или выделили четыре части.

Дробные числа можно встретить в разных задачах по алгебре, физике, геометрии и другим дисциплинам. С дробями допустимо совершать разные арифметические действия, в том числе делить, умножать, складывать, вычитать. В том или ином случае целесообразно использовать правила, закономерности, свойства, характерные для дробных чисел. Разобраться в порядке и принципе действий можно, если начать знакомство с темой с ключевых понятий и формул.

В данном примере с играет роль числителя, р обозначает знаменатель в записанной дроби.

Запишем несколько положительных дробей, которые можно отнести к категории правильных:

\(\frac{4}{5}\)

\(\frac{2}{7}\)

Приведем несколько примеров дробей, которые называют неправильными:

\(\frac{11}{5}\)

\(\frac{15}{2}\)

Запишем пример, наглядно демонстрирующий суть понятия смешанной дроби, помогающего решать задачи:

\(2\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 5}{5}+\frac{2}{5}=\frac{10}{5}+\frac{2}{5}=\frac{12}{5}\)

Представим примеры десятичных дробей:

\(\frac{7}{100} = 0,07\)

\(\frac{357}{1000} = 0,357\)

Дробные числа в зависимости от формы записи имеют некоторые характерные свойства. Сформулируем ключевое свойство, которым характеризуются все дроби.

Рассмотрим пример выполнения записанного свойства на практике:

\(\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{2}{10}\)

Сложение дробей выполняют по стандартному алгоритму, либо с поправкой на вид знаменателя. Разберем разные варианты записи дробных чисел и порядок действий при их суммировании.

Порядок действия для сложения обычных дробных чисел, которые имеют разные знаменатели:

• поиск минимального общего знаменателя для приведения к нему дробей;
• суммирование числителей;
• переписывание в результат того же знаменателя без корректировок;
• сокращение результата при необходимости.

Если в примере требуется найти сумму пары смешанных чисел, которые имеют неодинаковые знаменатели, то нужно следовать такому алгоритму:

• приведение дробных частей к минимальному общему знаменателю;
• сложение целых частей;
• сложение дробных частей;
• в том случае, когда дробные части в сумме дают неправильное дробное число, следует выделить из него целую часть и суммировать ее с целой частью, которая получилась на предыдущем шаге;
• если это необходимо, можно сократить дробное число.

Примеры

Решение

Заметим, что в данном задании указаны пары дробей, которые не отличаются знаменателями. В таком случае целесообразно воспользоваться стандартным алгоритмом сложения дробных чисел, то есть суммировать числители, а знаменатели переписать без каких-либо корректировок:

\(\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}\)

\(\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{5}{11} + \frac{8}{11} = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11}\)

Ответ: \(\frac{3}{7}\), \(\frac{1}{2}\), \(1\frac{2}{11}\)

Решение

Заметим, что в этой задаче в парах дробных чисел, которые требуется суммировать, разные знаменатели. Тогда целесообразно воспользоваться алгоритмом, содержащим шаг, предполагающий приведение дробей к минимальному общему знаменателю.

\(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}\)

\(\frac{4}{5} + \frac{2}{7} = \frac{28}{35} + \frac{10}{35} = \frac{38}{35} = 1\frac{3}{35}\)

\(\frac{5}{32} + \frac{7}{24} = \frac{15}{96} + \frac{28}{96} = \frac{43}{96}\)

Вычитание дробей

Нередко при решении задач на дроби возникает необходимость вычесть из одного дробного числа другое. Они могут иметь одинаковые знаменатели, обладать разными знаменателями, а также отличаться по форме записи. В том или ином случае необходимо пользоваться оптимальным алгоритмом действий.

В помощь учащимся простая схема поиска наименьшего единого знаменателя для каких-либо дробей и приведение дробных чисел соответственно:

• поиск минимального общего кратного для знаменателя имеющихся дробных чисел;
• деление найденного единого знаменателя на каждый из знаменателей, что позволит определить, чему равен дополнительный множитель;
• умножение обеих частей каждой из дробей на определенный на предыдущем шаге множитель.

В качестве тривиального примера можно рассмотреть приведение к НОЗ пары дробных чисел:

\(\frac{1}{3}\) и \(\frac{3}{4}\)

Заметим, что минимальное единое кратное в данном случае составляет 12. Руководствуясь этим, вычислим дополнительные множители:

\(12 \div 3=4\)

\(12 \div 4=3\)

В результате получим, что:

\(\frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12}\)

\(\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12}\)

Еще одним важным навыком при работе с дробными числами является перевод неправильного дробного числа в вид смешанной дроби. Запишем соответствующий порядок необходимых в этой случае преобразований:

• деление дробного числителя на знаменатель этого же дробного числа;
• запись остатка от предыдущего действия в числитель;
• знаменатель остается без изменений;
• запись результата от частного в виде целой части дроби.

Алгоритм действий, подходящий в случае вычитания обычных дробных чисел, которые отличаются знаменателями:

• приведение дробных чисел к НОЗ;
• из числителя первой дроби нужно вычесть числитель второй дроби;
• запись неизменного знаменателя;
• сокращение результата в виде дробного числа при необходимости.

При наличии пары смешанных дробей их вычитание выполняют таким образом:

• приведение к НОЗ;
• вычитание целых частей и вычитание дробных частей;
• в том случае, когда дробная часть уменьшаемого меньше по сравнению с дробной частью вычитаемого, необходимо записать число в виде неправильной дроби путем уменьшения на 1 целой части;
• сокращение результата, когда это необходимо.

Примеры

Решение

\(\frac{18}{37} - \frac{10}{37} = \frac{8}{37}\)

\(\frac{16}{25} и \frac{11}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}\)

Ответ: \(\frac{8}{37}\), \(\frac{1}{5}\)

Решение

\(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{5}{12} - \frac{7}{20} = \frac{25}{60} - \frac{21}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}\)

\(1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}\)

\(2 - \frac{5}{13} = 1\frac{13}{13} - \frac{5}{13} =1\frac{8}{13}\)

Ответ: \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{15}\), \(\frac{5}{8}\), \(1\frac{8}{13}\)