Мгновенное ускорение в физике

Мгновенное ускорение — это

Исходя из временного интервала, учитываемого при расчете, ускорение классифицируется как среднее и мгновенное.

Источник: av-physics.narod.ru

Объект, движущийся по прямой, может испытывать увеличение или уменьшение ускорения, а может двигаться с равномерным ускорением или с нулевым ускорением. Поэтому в таких случаях среднее ускорение не описывает движение объекта в каждый момент времени.

Среднее ускорение дает только среднее значение ускорения, а не фактическое ускорение объекта во время движения. В то время как мгновенное ускорение дает точное значение ускорения в каждый момент времени во время движения.

Единица измерения

Поскольку ускорение — это скорость в метрах, деленная на время в секундах, единицы СИ для ускорения часто сокращенно обозначают м/с2 — то есть метры в секунду в квадрате или метры в секунду в секунду. Это буквально означает, на сколько метров в секунду изменяется скорость каждую секунду. Это векторная величина. Ее также можно определить, взяв наклон графика «расстояние-время» или графика x-t.

Формула

Мгновенное ускорение определяется как предел среднего ускорения, когда рассматриваемый промежуток времени приближается к 0. Оно также определяется аналогично производной скорости по времени. Оно задается выражением:

a→⃗ = lim_t→0ΔV→⃗/Δt
где:

a→⃗: ускорение тела,
ΔV→: Вектор изменения скорости,
Δt: Интервал времени, приближающийся к нулю, то есть бесконечно малый интервал.

Как найти

Его можно найти с помощью следующих двух методов:

1. Аналитический метод: этот способ используется для нахождения мгновенного ускорения, когда задано уравнение скорости в терминах времени. Оно может быть решено с помощью метода пределов или дифференцирования.

Используя метод пределов, мгновенное ускорение вычисляется:

a_мгн = lim_Δt→0 (V_(t+Δt)-Vt) / Δt
С помощью дифференцирования мгновенная скорость может быть вычислена:

a_мгн = dV/dt

2. Графический метод: способ используется для вычисления мгновенного ускорения по графику скорость-время.

Пример а. Если график скорости-времени является линейным.

Если график скорости-времени имеет линейный характер, то это означает, что объект движется с постоянным ускорением на протяжении всего своего движения.

Источник: mechcontent.com

Таким образом, в этом случае мгновенное ускорение равно среднему ускорению объекта.

V_мгн = V_ср

V_мгн = ΔV / Δt
V_мгн = (V2-V1) / (t2-t1)

Пример б. Когда профиль скорость-время нелинейный
Если временной профиль скорости нелинеен, это означает, что ускорение объекта меняется на протяжении всего движения.

Источник: mechcontent.com

Таким образом, в этом случае мгновенное ускорение объекта отличается от среднего ускорения. По такому графику можно рассчитать мгновенное ускорение, выполнив следующие действия:

1. Найти точку кривой в нужный момент времени.

2. В этой точке провести касательную к кривой.

3. Найдите наклон касательной: Мгновенное ускорение — это наклон касательной, проведенной к кривой скорость-время в данный момент. 

​

Источник: mechcontent.com

a_мгн = Наклон(1-2) = (V2-V1) / (t2-t1).

Примеры решения задач

Дифференцируя заданную функцию по t, получаем:

V_мгн = dx / dt = (d(4t² + 10t + 6) / (dt)

Для времени t = 5 с мгновенная скорость определяется как:

V(t) = 8t + 10

V(5) = 8(5) + 10

V(5)= 50 м/с.

Ответ: Таким образом, для известной функции мгновенная скорость равна 50 м/с.

Разграничивая заданную функцию по отношению к t, получаем мгновенную скорость:

V_мгн = dx / dt = dx / dt = (d(5t² + 2t + 3) / (dt)

V_мгн = 10t + 2

Для времени t=3 с мгновенная скорость равна V(t)=10t + 2

V(3)=10(3)+ 2

V(3) =32 м/с

Ответ: Мгновенная скорость для данной функции равна 32 м/с.

Решение:

Мгновенное ускорение частицы задается:

a_мгн = dV / dt
a_мгн = d / dt(6t²+2t)
a_мгн = 12t + 2

Время, в которое Vср равно Vмгн: 6 = 12t + 2

Ответ: t = 0,34 секунды.

Решение: Использование пределов.
Мгновенное ускорение объекта:

a_t = lim_Δt→0 V_(t+Δt)-V_t / Δt

a_t = lim_Δt→0 = [5(t+Δt)²+3(t+Δt)] -[5t²+3t] / Δt

a_t = lim_Δt→0 = 5t²+10tΔt+5Δt²+3t+3Δt-5t²-3t / Δt

a_t = lim_Δt→0 = 5t²+10tΔt+3Δt / Δt

a_t = lim_Δt→0 = 5Δt+10t+3

a_t = 10t + 3

Ускорение объекта в момент t = 45 секунд определяется по формуле:

a_(t=45) = 10(45) + 3

Ответ: a_(t=45) = 453 м/с².

Интерпретируйте результаты (c) с точки зрения направлений векторов ускорения и скорости.

Найдем функциональную форму ускорения, взяв производную от функции скорости. Затем вычисляем значения мгновенной скорости и ускорения из заданных функций для каждого. Для части (d) нам нужно сравнить направления скорости и ускорения в каждый момент времени.

Решение:

1. a(t)=dv(t)dt=(20м/с2)-(10м/с3)t
2. v(1s)=15m/s, v(2s)=20m/s, v(3s)=15m/s, v(5s)=-25m/s
3. a(1s)=10m/s2, a(2s)=0m/s2, a(3s)=-10m/s2, a(5s)=-30m/s2
4. В момент времени t = 1 с скорость v(1s)=15 м/с положительна, а ускорение положительно, поэтому и скорость, и ускорение направлены в одну сторону. Частица движется быстрее.

В момент t = 2 с скорость увеличилась до v(2s)=20 м/с, где она максимальна, что соответствует моменту, когда ускорение равно нулю. Мы видим, что максимальная скорость возникает, когда наклон функции скорости равен нулю, то есть равен нулю функции ускорения.

При t = 3 с скорость равна v(3s)=15 м/с, а ускорение отрицательно. Частица уменьшила свою скорость, и вектор ускорения отрицателен. Частица замедляется.

При t = 5 с скорость v(5s)=-25 м/с, а ускорение становится все более отрицательным. За время от t = 3 с до t = 5 с скорость частицы уменьшилась до нуля, а затем стала отрицательной, изменив направление движения. Теперь частица снова ускоряется, но уже в противоположном направлении.

Эти результаты мы можем увидеть графически:

Источник: openstax.org