Что нужно знать о логических операциях — основные сведения

Что такое логическая операция в информатике

В вычислительной технике логические операции необходимы, поскольку они моделируют способ передачи информации по электрическим цепям, например, внутри центрального процессора. Эти типы операций называются логическими операциями.

Таблицы истинности и порядок выполнения логических операций

Это математическая таблица, которая показывает все возможные результаты, которые могли бы произойти из всех возможных сценариев, которые считаются фактическими, отсюда и название. Таблицы истинности обычно используются для логических задач, таких как булева алгебра и электронные схемы.

Таблица истинности показывает результаты логического выражения с отдельными столбцами для каждой задействованной переменной и столбцом для соответствующих результатов. Все варианты входных данных или аргументов перечислены слева, в то время как выходные данные обычно размещаются в последних столбцах справа.

Охватывает символы операций, используемые для математики, обработки строк, логики и выражений сравнения. Включает порядок приоритета и таблицу истинности.

Таблица истинности

Следующая таблица истинности содержит все правила, необходимые для вычисления логических выражений. («T» — true (истина), «F» — false (ложь).

Столбцы И и ИЛИ таблицы истинности можно резюмировать следующим образом:

1. «A .и. B» истинно только в том случае, если оба A и B истинны.
2. «A .и. B» является ложным, если либо A, либо B являются ложными.
3. «A .или. B» истинно, если либо A, либо B истинны.
4. «A .или. B» является ложным только в том случае, если оба A и B являются ложными.

Символы логических операторов

Логические или логические операторы используются в логических (булевых) выражениях. (Пример: (A .И. B .или. C) ).

Так же, как и в математических выражениях, существует определенный порядок приоритета для вычисления логических выражений, которые содержат более двух операторов. Выражения внутри круглых скобок вычисляются первыми, а логические операторы вычисляются в следующем порядке:

1. .НЕ.
2. ...И
3. ... ИЛИ.

Пример: круглые скобки в следующем примере делают два утверждения логически разными:

• A .И. B .ИЛИ. C;
• A .И. (B .ИЛИ. C).

Виды и условные обозначения логических операций

В философии и математике логика играет ключевую роль в формализации обоснованных дедуктивных выводов и других форм рассуждений. Ниже приведен полный список наиболее заметных символов в логике, включающий символы из логики высказываний, логики предикатов, булевой логики и модальной логики.

Для удобства чтения эти символы классифицированы по их функциям в таблицах. Другие подробные списки символов, классифицированные по тематике и типу, также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).

Математические, сравнительные и логические символы операторов

Символы математических операторов

Символы математических операторов указывают, какие операции должны выполняться при вычислении арифметического выражения, такого как X / Y * (A + B * A).

Порядок приоритета

При вычислении математического или логического выражения, заключенные в круглые скобки, всегда вычисляются первыми. Порядок приоритета для остальных математических операторов слева направо в следующем порядке:

1. Возведение в степень.
2. Умножение и деление.
3. Сложение и вычитание.

Следующая фраза полезна для запоминания порядка приоритета математических операторов. Просто обязательно поймите, что умножение не предшествует делению (они равны и выполняются слева направо, если нет круглых скобок), а сложение не предшествует вычитанию (они равны и выполняются слева направо, если нет круглых скобок).

Please Excuse My Dear Aunt Sally (Пожалуйста, Извините Мою Дорогую Тетю Салли).

Символы строковых операций

Символы строковой операции указывают, как объединяются две или более символьных строк, операция, известная как конкатенация.

Пример (представляет собой пробелы):

«Привет____»+«Там». = «Привет____ Там».
«Привет____» - «Там».=«Привет, здесь.____»

Символы оператора сравнения

Операторы сравнения используются для сравнения математических, символьных или дат-выражений. Они приводят к логическим значениям True или False, как это используется в булевой логике.

Логические утверждения

С помощью логики утверждения могут быть помечены как истинные или ложные, например:

1. Все числа являются целыми числами.
2. Некоторые отрицательные числа являются целыми числами.
3. Квадраты — это прямоугольники.
4. Некоторые четырехугольники являются параллелограммами.
5. Четырехугольники имеют 11 сторон.
6. Прямоугольники имеют четыре стороны.

Очевидно, что некоторые из этих шести утверждений являются ложными, но суть в том, что они являются проверяемыми утверждениями. Они не выражают своего мнения. Сравните их, скажем, с «Я люблю шоколад», что показывает мнение.

Логические соединители

Утверждения часто обозначаются буквами p и q. Они соединены вместе с помощью соединителей, так что вы можете комбинировать идеи, используя «и» или «или» между утверждениями. Два оператора, соединенные соединителями, создают составной оператор. Объединение логических утверждений — это не то же самое, что объединение идей в обычной английской беседе.

Сравнивать:

1. Я люблю шоколадки, а мой друг любит фисташки.
2. Все числа являются целыми числами, а квадраты — прямоугольниками.

Первые связанные утверждения, одно составное утверждение, являются мнениями. Второе составное утверждение является логическим утверждением (но составное утверждение является ложным).

Логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Два типа соединителей называются соединениями («и») и дизъюнкциями («или»). Союзы используют математический символ ∧, дизъюнкции используют математический символ ∨.

Дизъюнкция в логике

Когда соединителем между двумя утверждениями является «или», это есть дизъюнкция. В этом случае только один оператор в составном операторе должен быть истинным, чтобы весь составной оператор был истинным.

Взглянем на первоначальные утверждения:

1. Все числа являются целыми числами.
2. Некоторые отрицательные числа являются целыми числами.
3. Квадраты — это прямоугольники.
4. Некоторые четырехугольники являются параллелограммами.
5. Четырехугольники имеют 11 сторон.
6. Прямоугольники имеют четыре стороны.

Если мы свяжем одно утверждение true и одно утверждение false в составное утверждение, используя соединитель «или» (обозначается ∨) у нас все еще есть истинное составное утверждение:

1. p: Квадраты — это прямоугольники.
2. q: Четырехугольники имеют 11 сторон.
3. pqНекоторые квадраты являются прямоугольниками или четырехугольниками с 11 сторонами.

Логическое отрицание (инверсия)

Таблица истинности Не p также записанная ¬ p отображается ниже:

Таблица логического отрицания

Логическая инверсия

Инверсия — это отрицательная форма условия, в которой отрицаются как гипотеза, так и заключение. Итак, если наше условное утверждение является:

• Если бы я сидел на своем полу, то был бы дома.

Тогда инверсия было бы:

• Если бы я не сидел на своем полу, то меня бы не было дома.

Инверсия не обязательно имеет то же значение истинности, что и условное утверждение: на самом деле можно стоять на полу и все еще быть дома.

• Если бы я был дома, то сидел бы на своем полу.

И вот наша инверсивная фраза:

• Если бы я не сидел на своем полу, то меня бы не было дома.

Если обратное утверждение истинно, то обратное также должно быть истинным, и наоборот. Аналогично, если обратное утверждение ложно, то обратное утверждение также должно быть ложным и наоборот. Логическое обратное и обратное одного и того же условного оператора логически эквивалентны друг другу.

Конъюнкция или логическое умножение (в теории множеств — это пересечение)

Конъюнкция в логике

Соединение двух утверждений с помощью «и» является соединением, что означает, что оба утверждения должны быть истинными, чтобы все составное утверждение было истинным. Союзы символизируются с помощью ∧ символа, поэтому эти два отдельных утверждения могут быть объединены в составное утверждение:

1. Утверждение p: Квадраты — это прямоугольники.
2. Утверждение q: Прямоугольники имеют четыре стороны.
3. Составное утверждение (на английском языке): Квадраты — это прямоугольники, а прямоугольники имеют четыре стороны.
4. Составное утверждение (в математических символах): p∧q

Только в том случае, если обе части составного утверждения истинны, все утверждение истинно.

Примеры конъюнкции и дизъюнкции

Вот четыре других составных утверждения, взятых из наших первоначальных утверждений. Определите символы и то, являются ли составные операторы истинными или ложными:

1. p: Некоторые отрицательные числа являются целыми числами.
2. q: Квадраты — это прямоугольники.
3. Некоторые отрицательные числа являются целыми числами, а квадраты — прямоугольниками.

Вы сказали p∧q и оценили это как истину? Оба утверждения верны, поэтому составное утверждение, к которому присоединяется «и», является истинным.

1. p: Некоторые четырехугольники являются параллелограммами.
2. q: Четырехугольники имеют 11 сторон.
3. Некоторые четырехугольники являются параллелограммами, или четырехугольники имеют 11 сторон.

Вы сказали p∨q и оценили это сложное утверждение как истинное? Хотя четырехугольники не имеют 11 сторон, союз «или» делает составное утверждение истинным, поскольку некоторые четырехугольники являются параллелограммами.

1. p: Четырехугольники имеют 11 сторон.
2. q: Прямоугольники имеют четыре стороны.
3. Четырехугольники имеют 11 сторон, а прямоугольники — четыре стороны.

Вы думаете p∧q? Решили, что это составное утверждение было ложным? Поскольку четырехугольники не имеют 11 сторон, конъюнкция является ложной.

1. p: Все числа являются целыми числами.
2. q: Квадраты — это прямоугольники.
3. Все числа являются целыми числами, а квадраты — прямоугольниками.

Ответ: p∨q. Утверждение ложно, поскольку обе стороны составного утверждения являются ложными.

Логическое следование (импликация)

В большинстве систем формальной логики используется более широкое отношение, называемое материальной импликацией, которое читается как:

«Если A, то B» и обозначается A ⊃ B или A → B.

Истинность или ложность составного предложения A ⊃ B зависит не от каких-либо отношений между значениями предложений, а только от значений истинности A и B; A ⊃ B является ложным, когда A истинно, а B ложно, и оно истинно во всех остальных случаях.

Эквивалентно, A ⊃ B, который часто определяется как ∼(А·∼B) или как ∼А∨B (в которой ∼ означает «не» означает «и», А ∨ означает «или»). Такой способ интерпретации ⊃ приводит к так называемым парадоксам материальной импликации:

«Трава красная ⊃ лед холодный» является истинным утверждением в соответствии с этим определением ⊃.

В попытке построить формальные отношения, более близкие к интуитивному понятию импликации, Кларенс Ирвинг Льюис, известный своим концептуальным прагматизмом, ввел в 1932 году понятие строгой импликации. Строгое значение было определено как ∼♦(A·∼B), в котором ♦ означает «возможно» или «не противоречит самому себе». Таким образом, A строго подразумевает B, если невозможно, чтобы и A, и ∼B были истинными. Эта концепция импликации основана на значениях предложений, а не только на их истинности или ложности.

В интуиционистской математике и логике вводится примитивная форма импликации (не определенная в терминах других базовых связок): A ⊃ B здесь истинно, если существует доказательство (qv.), которое, если соединить с доказательством A, приведет к доказательству B.

Примеры использования

В большинстве языков выражения, которые выдают значения логического типа данных, делятся на две группы. Одна группа использует реляционные операторы в своих выражениях, а другая группа использует логические операторы в своих выражениях.

Логические операторы часто используются для создания тестового выражения, управляющего потоком программы. Этот тип выражения также известен как логическое выражение, потому что при вычислении они создают логический ответ или значение. Существует три распространенных логических оператора, которые выдают логическое значение путем манипулирования другими логическими операндами. Символы и/или названия операторов различаются в зависимости от разных языков программирования:

Вертикальные тире или символ трубопровода находятся на той же клавише, что и обратная косая черта \. Используется клавиша SHIFT, чтобы получить его. Это может быть сплошная вертикальная линия на некоторых клавиатурах и отображаться как сплошная вертикальная линия на некоторых печатных шрифтах.

В большинстве языков существуют строгие правила формирования правильных логических выражений. Примером может служить: